Metody równań

Metoda Gaussa

1. Przygotowanie macierzy: System równań jest przedstawiany w postaci macierzy, gdzie każdy wiersz odpowiada równaniu, a kolumny reprezentują współczynniki przy zmiennych.

   a11	a12	a1n
   a21	a22	a2n
   an1	an2	ann

2. Wybór wiodącego elementu: W pierwszym kroku należy wybrać wiodący element, czyli element wiodący w pierwszej kolumnie. Może to być największa wartość bezwzględna lub inny wybrany kryterium.
3. Eliminacja: W tej fazie dokonuje się eliminacji współczynników w kolumnach poniżej wiodącego elementu. Pozostałe równania są redukowane poprzez odejmowanie odpowiednich wielokrotności pierwszego równania od pozostałych równań, w celu wyeliminowania współczynników przy zmiennej.
4. Powtarzanie kroków 2 i 3: Proces wyboru wiodącego elementu i eliminacji jest powtarzany dla pozostałych kolumn, aż do uzyskania macierzy trójkątnej górnej.

   a11	a12	a1n
   0	a22	a2n
   0	0	ann

5. Rozwiązanie systemu: Gdy macierz jest w postaci trójkątnej górnej, można łatwo obliczyć wartości nieznanych zmiennych poprzez proces zwany "odwrotną substytucją". Zaczynając od ostatniego równania, wartości są obliczane wstecz.

Metoda Gaussa (kroki)

1. Ustalenie warunku początkowego iteracji x(0),
2. Wyznaczenie wektora F(x⁽ⁱ⁾) w i-tym kroku,
3. Macierz Jacobiego J(x⁽ⁱ⁾) w i-tym kroku,
4. Rozwiązanie układu równań liniowych 𝐽(𝑥⁽ⁱ⁾)∆𝑥⁽ⁱ⁾ = −𝐹(𝑥⁽ⁱ⁾) w każdym kroku ze względu na wektor ∆𝑥⁽ⁱ⁾,
5. Rozwiązanie wzorem 𝑥⁽ⁱ⁺¹⁾ = 𝑥⁽ⁱ⁾ + ∆𝑥⁽ⁱ⁾,
6. Sprawdzenie kryterium stopu np. ‖𝐹(𝑥⁽ⁱ⁾)‖ = max ‖𝑓_k(𝑥⁽ⁱ⁾)‖ < 𝜀 ,
7. Jeżeli 6. Spełniona to otrzymamy wektor x⁽ⁱ⁾ jest rozwiązaniem po i-iteracji dla zadanej dokładności 𝜀, jeśli nie to 𝑖 ∶= 𝑖 + 1 oraz przejęcie do punktu 2.

Ekstrapolacja

Jest techniką numeryczną wykorzystywaną do oszacowania wartości funkcji w punkcie, który jest poza zakresem dostępnych danych. Pozwala na przewidywanie wartości funkcji na podstawie dostępnych danych numerycznych.

Kroki ekstrapolacji Richardsona

To metoda polegająca na ulepszaniu przybliżeń numerycznych poprzez zastosowanie różnych poziomów dokładności obliczeń.

Oto ogólny opis kroków Ekstrapolacji Richardsona:

1. Przygotowanie siatki wartości: Pierwszym krokiem jest utworzenie siatki wartości funkcji w danym obszarze, które są dostępne do obliczeń. Im gęstsza siatka, tym lepsza jakość ekstrapolacji.
2. Wybór odstępów: Następnie wybieramy odstępy między wartościami funkcji w siatce. Odstępy powinny być dobrze zrównoważone, aby zapewnić równomierne rozłożenie punktów.
3. Ekstrapolacja: Korzystając z dostępnych wartości funkcji, stosujemy formułę ekstrapolacyjną, która bierze pod uwagę różne poziomy dokładności obliczeń. Możemy użyć wielomianu interpolacyjnego, np. wielomianu Lagrange'a lub wielomianu Newtona, aby ekstrapolować wartość funkcji w punkcie poza dostępnymi danymi.
4. Ulepszanie przybliżeń: Następnie można zastosować kroki ulepszania, które zwiększają dokładność przybliżeń. Jest to możliwe poprzez obliczenie wartości funkcji przy wykorzystaniu większej liczby punktów lub zastosowanie bardziej zaawansowanych technik interpolacji.
5. Iteracyjne powtarzanie: Jeśli uzyskane przybliżenie jest wystarczająco dokładne, proces można zakończyć. W przeciwnym razie można powtórzyć kroki Ekstrapolacji Richardsona, korzystając z bardziej precyzyjnych danych lub innych metod numerycznych, aby dalej poprawiać przybliżenia.

Ekstrapolacja Richardsona jest użyteczna w przypadkach, gdy potrzebujemy estymacji wartości funkcji w punktach, dla których brakuje dokładnych danych. Może być również stosowana do ulepszania przybliżeń numerycznych, co prowadzi do bardziej precyzyjnych wyników obliczeń.

Całkowanie numeryczne

znane również jako metody numeryczne całkowania, to zbiór technik wykorzystywanych do obliczania przybliżonych wartości całek oznaczonych funkcji. Pozwala to na rozwiązanie problemów całkowych, gdy nie jest możliwe wykonanie dokładnych obliczeń analitycznych.

1. Metoda prostokątów

   Metoda ta polega na przybliżaniu obszaru pod krzywą za pomocą prostokątów. W zależności od wyboru punktu, na którym jest wartość funkcji (lewy, prawy lub środkowy punkt przedziału), metody prostokątów są nazywane odpowiednio metodą prostokątów lewych, prawych lub środkowych. Całka jest przybliżana poprzez sumowanie pól prostokątów.
   

2. Metoda trapezów

   Metoda ta polega na przybliżeniu obszaru pod krzywą za pomocą trapezów. Całka jest przybliżana przez sumowanie pól trapezów, które mają wierzchołki na krzywej. Metoda trapezów może być również ulepszona poprzez zastosowanie reguły trapezów złożonych, gdzie przedział całkowania jest podzielony na wiele mniejszych podprzedziałów, a następnie stosuje się regułę trapezów na każdym z podprzedziałów.
   

3. Metoda Simpsona

   , znana również jako reguła Simpsona, jest bardziej zaawansowaną metodą całkowania numerycznego, która oferuje wyższą dokładność przybliżenia całek w porównaniu do prostszych metod, takich jak metoda prostokątów czy metoda trapezów. Metoda ta polega na przybliżeniu obszaru pod krzywą za pomocą wielomianów drugiego stopnia (parabol).
   

Ważne jest, aby pamiętać, że metody całkowania numerycznego są przybliżone, a wynik zależy od wyboru kroku dyskretyzacji (np. podziału przedziału na mniejsze podprzedziały) i liczby punktów użytych do przybliżania wartości funkcji. Im większa liczba podprzedziałów lub punktów, tym dokładniejsze przybliżenie całki.

Obliczanie szeregów Fouriera

jest techniką matematyczną wykorzystywaną do rozbicia okresowej funkcji na składowe sinusoidalne o różnych częstotliwościach. Szeregi Fouriera są szeroko stosowane w dziedzinach takich jak analiza harmoniczna, przetwarzanie sygnałów, teoria sterowania i wiele innych. Oto krótki opis kroków obliczania szeregów Fouriera:

1. Określenie okresu funkcji: Pierwszym krokiem jest ustalenie okresu funkcji, dla której chcemy obliczyć szereg Fouriera. Okres to najmniejsza dodatnia wartość T, dla której funkcja powtarza się.
2. Rozbicie funkcji na składowe: Następnie, na podstawie okresu funkcji, możemy rozłożyć ją na składowe harmoniczne. Szereg Fouriera jest sumą nieskończonej liczby sinusów i kosinusów o różnych częstotliwościach, których amplitudy i fazy zależą od funkcji pierwotnej.
3. Obliczenie współczynników Fouriera: Kolejnym krokiem jest obliczenie współczynników Fouriera, które określają amplitudy i fazy składowych harmonicznych. Istnieją różne wzory i metody obliczania tych współczynników, takie jak wzory Eulera, wzory trigonometryczne lub wykorzystanie transformaty Fouriera.
4. Wykorzystanie składowych harmonicznych: Na podstawie obliczonych współczynników Fouriera, można odtworzyć funkcję pierwotną jako sumę sinusów i kosinusów o odpowiednich częstotliwościach, amplitudach i fazach. Im więcej składowych harmonicznych uwzględniamy w szeregu Fouriera, tym dokładniejsze przybliżenie funkcji.
5. Analiza wyników: Po obliczeniu szeregu Fouriera, można dokonać analizy wyników, takiej jak określenie najważniejszych składowych harmonicznych, częstotliwości dominujących w funkcji, określenie energii w poszczególnych składowych itp.
6. Szybkie przekształcenie Fouriera według algorytmu Cooleya-Tukeya.

Układ równań różniczkowych

to zbiór równań, które opisują zależności między pochodnymi wielu funkcji. Ogólnie, rozwiązanie układu równań różniczkowych polega na znalezieniu funkcji, które spełniają wszystkie równania jednocześnie.

1. Metoda Eulera: : jest jedną z najprostszych metod numerycznych do rozwiązywania układów równań różniczkowych. Polega ona na przybliżeniu rozwiązania przez skończony krok czasowy. W tej metodzie, równania różniczkowe są zamieniane na równania różnicowe, a pochodne są przybliżane za pomocą różnic skończonych. Następnie, dla danego punktu początkowego, kolejne wartości funkcji są obliczane iteracyjnie na podstawie wartości poprzednich.
2. Metoda Rungego-Kutty: jest bardziej zaawansowaną metodą numeryczną do rozwiązywania układów równań różniczkowych. Jest ona oparta na rozwinięciu Taylora funkcji w punkcie początkowym, aby obliczyć wartości funkcji w kolejnych krokach. Istnieje wiele wariantów metody Rungego-Kutty, takich jak metoda RK2, RK4 itd., które różnią się stopniem dokładności przybliżenia. Im wyższy stopień metody Rungego-Kutty, tym bardziej dokładne przybliżenie można uzyskać, ale zwykle kosztem większej złożoności obliczeniowej.
   Podstawą wszystkich metod Rungego-Kutty jest wyrażenie zależności całkowej:

Należy pamiętać, że metody numeryczne do rozwiązywania układów równań różniczkowych mają swoje ograniczenia i wymagają odpowiednich warunków początkowych oraz określonego przedziału czasowego. Wybór odpowiedniej metody zależy od charakterystyki układu równań i oczekiwanej dokładności rozwiązania.